前言

层次分析法通过建立评价标准，通过不同程度的指标表示重要程度，通过比较来推算权重，最终完成决策

层次结构

分析因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构

• 目标层 Objective
• 准则层 Criterion
• 方案层 Plan

重要程度指标

不同因素两两相比时，通过1-9来表示不同重要程度，数值越大比较者比被比较者更重要

判断矩阵

判断矩阵的生成

由目标层与决策层可以生成以下表格，对应矩阵称为判断矩阵O-C

由决策层与方案层可以生成以下表格，对应矩阵称为判断矩阵C-p

不一致现象

出现类似因素A比B好，A和C一样好，B比C好的描述时，会出现矛盾
会导致矩阵出现不一致现象

当矩阵一致时，所生成的矩阵是一致矩阵

一致矩阵的性质

1. 特点

各行(列)之间成倍数关系，对角线两边互为倒数

2. 充要条件

1. $a_{ij}$>0
2. $a_{11}$=$a_{22}$=$a_{nin}$

3. [$a_{i1}$,$a_{i2}$$\cdots$$a_{n}$]=$k_i$[$a_{11}$,$a_{12}$$\cdots$$a_{1n}$]

   一致性检验

   引理

4. $n$阶正互反矩阵A为一致矩阵时，最大特征值$\lambda_{max}$=$n$
5. $n$阶正互反矩阵A为非一致矩阵时，最大特征值$\lambda_{max}$>$n$

一致性检验

1. 一致性指标 $CI$=$\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}$
2. 查找平均随机一致性指标$RI$
   
3. 计算一致性比例$CR$=$\frac{CR}{RI}$
4. $CR$<0.1时，一致性可接受，否则需要矩阵修正

计算权重

用以下这个矩阵为例

1. 归一化

即某列元素/所在列的和
以第一列为例
$C_1$权重=$\frac{1}{1+1/2+1/4}$
$C_2$权重=$\frac{1/2}{1+1/2+1/4}$
$C_3$权重=$\frac{1/4}{1+1/2+1/4}$

接着再分别求得另外两列权重的数据

2. 权重求平均

算术平均

1. 将所得权重的矩阵按行求和
2. 除以n得到算术平均值

设判断矩阵$A$=$$\begin{bmatrix}
{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\
{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\
{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\
{a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}}\
\end{bmatrix}$$，则算术平均法求得权重向量$\omega_i$=$\frac{1}{n}$$\sum_{j=1}^n$$\frac{a_{ij}}{\sum_{k=1}^na_{kj}}$ ($i$=1,2,$\cdots$$n$)

几何平均

1. 将判断矩阵$A$的元素按行相乘得到新的列向量
2. 将该列向量归一化处理得到权重向量

设判断矩阵$A$=$$\begin{bmatrix}
{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\
{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\
{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\
{a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}}\
\end{bmatrix}$$，则几何平均法求得权重向量$\omega_i$=$\frac{(\prod_{j=1}^na_{ij})^\frac{1}{n}}{\sum_{k=1}^n(\prod_{j=1}^na_{kj})^\frac{1}{n}}$ ($i$=1,2,$\cdots$$n$)

特征值

1. 求出矩阵$A$最大特征值以及对应特征向量
2. 对特征向量归一化得到权重

方法局限性

1. 评价的决策层或方案层不能过多($n$<15)
2. 决策层与方案层数据已知时不可用