克拉默法则(Cramer's law)是线性代数中的一条定理，用行列式来计算出线性等式组中的所有解，被用于计算n元一次方程

前言

近期线性代数学习到了克拉默法则，结合前文使用C++实现n阶行列式的计算所写代码，可以实现解n元一阶方程的目的

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代码

本次代码分为主程序main.cpp和子程序det.cpp两部分，主程序主要负责数值的输入和输出，子程序负责计算行列式

main.cpp

#include <iostream>
#include "det.cpp"//导入det.cpp子程序文件
#define MAX 30//最大阶数

//生成临时数组c，从a导入数值，并将c[][t]赋b的值
double calc(double a[MAX][MAX],double b[MAX],int n,int t)
{
    double c[MAX][MAX];
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(j==t)
                c[i][j]=b[i];
            else
                c[i][j]=a[i][j];
        }
    }
    return det(c,n);//调用子程序的函数计算并返回结果
}

int main() {
    double a[MAX][MAX];//定义每项前系数
    double b[MAX];//定义等号右边的数
    int n;//定义阶数
    cout<<"Input n=";
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            cout<<"a["<<i<<"]["<<j<<"]=";
            cin>>a[i][j];
        }
        cout<<"b["<<i<<"]=";
        cin>>b[i];
    }

    for(int t=0;t<n;t++)
    {
        cout<<"x["<<t<<"]="<<calc(a,b,n,t)/det(a,n)<<endl;//即x=Di/D
    }
    return 0;
}

det.cpp

#include <iostream>
#include <cmath>
#define N 900//比n^n大即可
#define max_n 30//最高可算多少阶行列式

using namespace std;

//计算每项前系数
int t(int p[N],int n)
{    
    int c=0;//定义逆序数计数器
    
    for(int i=0;i<n-1;i++)
    {
        for(int j=i+1;j<n;j++)
        {
            if(p[i]>p[j])  
            c++;//出现逆序则自增1
            else if(p[i]==p[j])
            return 0;//出现同列情况将系数变为0
        }
    }
    
    if(c%2==0)
    return 1;//偶逆序数返回1
    else
    return -1;//奇逆序数返回-1
}

//计算系数外每项的乘积
double product(double x[max_n][max_n],int p[N],int n)
{
    double pdt=1;//乘积初始化为1
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        pdt*=x[i][p[i]];
    }
    return pdt;//返回本次序列数所对应的乘积
}


double det(double x[max_n][max_n],int n)
{
    double sum=0;//初始化结果为0
    int p[N];//定义序列数，从p[1]开始每一位的值对应取x[][]中每行的第几列
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        p[i]=0;//初始化
    }
    
    
    for(int i=0;i<pow(n,n);i++)
    {
        sum+=t(p,n)*product(x,p,n);
        
        //开始生成序列数
        p[0]++;
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(p[j]==n)
            {
                p[j]=0;
                p[j+1]++;
            }
        }
        
        
    }
    
    
    return sum;
}

解析

行列式的计算

有关行列式相关代码，此处不作解析，详见前文使用C++实现n阶行列式的计算

克拉默法则

$x_i=\frac{D_i}{D}$
系数行列式D的值由数组a[MAX][MAX]存储，等号右边数值由数组b[MAX]存储
下标i由for循环遍历，i的值会被传递给子函数`calc()
在子函数calc()中，会复制a[][]的值给临时数组c[][]
但在第i列会赋b[i]的值以替换